https://bharatkhoj.org/w/index.php?action=history&feed=atom&title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4अंकगणित - अवतरण इतिहास2026-05-09T10:33:37Zविकि पर उपलब्ध इस पृष्ठ का अवतरण इतिहासMediaWiki 1.41.1https://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149462&oldid=prevBharatkhoj २ मार्च २०१३ को ०४:५२ बजे2013-03-02T04:52:54Z<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← पुराना अवतरण</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">०४:५२, २ मार्च २०१३ का अवतरण</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l93">पंक्ति ९३:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">पंक्ति ९३:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>प्रत्येक घात का गुणांक ० से 9 तक (इन दस संख्याओं) में से कोई भी हो सकता है। बड़ी संख्याओं का एकक स्थान के अंक से आरंभ कर तीन-तीन अंकों के आवर्तकों में बाँटने की प्रथा पाश्चात्य है। भारतीय प्रथा में एकक अंक के आरंभ कर पहले तीन अंकों का एक आवर्तक और बाद में दो-दो अंकों के आवर्तक बनाए जाते हैं। उदाहरणत: 2306472 को पाश्चात्य प्रथा के अनुसार2,306,472 लिखते हैं; भारतीय प्रथा में 23,06,472। ऐसा करने का कारण स्पष्ट है। भारतीय गणना में सौ हजार का एक लाख, सौ लाख का 1 करोड़ इत्यादि होता है। पाश्चात्य प्रथा में 10 लाख को एक मिलियन कहते हैं। अमरीका और फ्रांस में हजार मिलियन (एक अरब) को बिलियन कहते हैं, परंतु इंग्लैंड में मिलियन मिलियन (= दस खरब) को बिलियन कहते हैं। इन दशमलव पद्धति के प्रयोग द्वारा वे भिन्नें भी लिखी जा सकती हैं जिनका हर 10 का कोई घात हो;यथा:</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>प्रत्येक घात का गुणांक ० से 9 तक (इन दस संख्याओं) में से कोई भी हो सकता है। बड़ी संख्याओं का एकक स्थान के अंक से आरंभ कर तीन-तीन अंकों के आवर्तकों में बाँटने की प्रथा पाश्चात्य है। भारतीय प्रथा में एकक अंक के आरंभ कर पहले तीन अंकों का एक आवर्तक और बाद में दो-दो अंकों के आवर्तक बनाए जाते हैं। उदाहरणत: 2306472 को पाश्चात्य प्रथा के अनुसार2,306,472 लिखते हैं; भारतीय प्रथा में 23,06,472। ऐसा करने का कारण स्पष्ट है। भारतीय गणना में सौ हजार का एक लाख, सौ लाख का 1 करोड़ इत्यादि होता है। पाश्चात्य प्रथा में 10 लाख को एक मिलियन कहते हैं। अमरीका और फ्रांस में हजार मिलियन (एक अरब) को बिलियन कहते हैं, परंतु इंग्लैंड में मिलियन मिलियन (= दस खरब) को बिलियन कहते हैं। इन दशमलव पद्धति के प्रयोग द्वारा वे भिन्नें भी लिखी जा सकती हैं जिनका हर 10 का कोई घात हो;यथा:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[चित्र:Ank ganit 10.gif|left|]]</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>= 35 + 7 ´ 10.1+ 0 ´ 10-2+6 ´ 10-3+4 ´ 10-4 <br /></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>= 35 + 7 ´ 10.1+ 0 ´ 10-2+6 ´ 10-3+4 ´ 10-4 <br /></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>अर्थात् दशमलव बिंदु के दाईं ओर के पहले अंक को 10-1 से गुणा करके दशमलव के बाईं ओर की पूर्ण संख्या में जोड़ना होता है। दूसरे को 10-2 से गुणा कर पहले के योग में जोड़ते हैं और इसी प्रकार अन्य अंकों को भी गुणा करके जोड़ना पड़ता है।<br /></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>अर्थात् दशमलव बिंदु के दाईं ओर के पहले अंक को 10-1 से गुणा करके दशमलव के बाईं ओर की पूर्ण संख्या में जोड़ना होता है। दूसरे को 10-2 से गुणा कर पहले के योग में जोड़ते हैं और इसी प्रकार अन्य अंकों को भी गुणा करके जोड़ना पड़ता है।<br /></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===दशमलव में योग और व्यवकलन=== </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===दशमलव में योग और व्यवकलन=== </div></td></tr>
</table>Bharatkhojhttps://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149460&oldid=prevBharatkhoj २ मार्च २०१३ को ०४:३५ बजे2013-03-02T04:35:42Z<p></p>
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<tr class="diff-title" lang="hi">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← पुराना अवतरण</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">०४:३५, २ मार्च २०१३ का अवतरण</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l161">पंक्ति १६१:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">पंक्ति १६१:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>(क+ ख)<sup>2</sup> = (क+2ख) क+ख<sup>2</sup></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>(क+ ख)<sup>2</sup> = (क+2ख) क+ख<sup>2</sup></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[चित्र:Ank ganit 9.gif|left|]]</ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>दी हुई संख्या के दशमलव स्थान से आरंभ कर बाईं ओर और दाहिनी ओर दो-दो अंकों के जोड़े बना लें। अब संख्या के बाएँ सिरे पर प्रथम खंड या तो एक पूरा जोड़ा होगा या केवल एक अंक। 1 से 9 तक के वर्गों की सारणी से देखें कि यह खंड किन संख्याओं के वर्गों के बीच में है। छोटी संख्या को वर्गमूल में लिखें। इसके वर्ग को खंड से घटाएँ और शेष के आगे दूसरा खंड उतारें; यह दूसरा भाज्य है। भाजक के लिखे अब तक प्राप्त वर्गमूल का दूना लिखें और देखें कि उसके आगे दीर्घतम कौन-सा अंक ''ब' बढ़ाया जाए कि बढ़ाने पर प्राप्त भाज्य का ब गुना दूसरे भाज्य से कम रहे। इस प्रकार वर्गमूल का दूसरा अंक ब हुआ। इसी प्रकार अन्य अंक ज्ञात करें। यह क्रिया ऊपर बगल में दिखाए गए उदाहरण से स्पष्ट हो जाएगी जिसमें 325.649 का वर्गमूल ज्ञात किया गया है।</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>दी हुई संख्या के दशमलव स्थान से आरंभ कर बाईं ओर और दाहिनी ओर दो-दो अंकों के जोड़े बना लें। अब संख्या के बाएँ सिरे पर प्रथम खंड या तो एक पूरा जोड़ा होगा या केवल एक अंक। 1 से 9 तक के वर्गों की सारणी से देखें कि यह खंड किन संख्याओं के वर्गों के बीच में है। छोटी संख्या को वर्गमूल में लिखें। इसके वर्ग को खंड से घटाएँ और शेष के आगे दूसरा खंड उतारें; यह दूसरा भाज्य है। भाजक के लिखे अब तक प्राप्त वर्गमूल का दूना लिखें और देखें कि उसके आगे दीर्घतम कौन-सा अंक ''ब' बढ़ाया जाए कि बढ़ाने पर प्राप्त भाज्य का ब गुना दूसरे भाज्य से कम रहे। इस प्रकार वर्गमूल का दूसरा अंक ब हुआ। इसी प्रकार अन्य अंक ज्ञात करें। यह क्रिया ऊपर बगल में दिखाए गए उदाहरण से स्पष्ट हो जाएगी जिसमें 325.649 का वर्गमूल ज्ञात किया गया है।</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
</table>Bharatkhojhttps://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149457&oldid=prevBharatkhoj १ मार्च २०१३ को १२:१३ बजे2013-03-01T12:13:05Z<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← पुराना अवतरण</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">१२:१३, १ मार्च २०१३ का अवतरण</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l148">पंक्ति १४८:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">पंक्ति १४८:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>क्रिया निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट हो जाएगी:<br /></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>क्रिया निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट हो जाएगी:<br /></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2" class="diff-side-added"></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>63802/73.1 = 6380.2/731</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>63802/73.1 = 6380.2/731</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[चित्र:Ank ganit 8.gif|left|]]<br /></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>स्पष्ट है कि शेष में दशमलव बिंदु को एकक स्थान से उतने ही स्थान बाईं ओर हटकर लगाना चाहिए जितने दशमलव स्थान पर अंतिम उतारा हुआ अंक मूल भाज्य में था। यहाँ अंतिम उतारा हुआ अंक 2 मूल भाज्य में दूसरे दशमलव स्थान पर था। अतएव शेष 2.05 है।</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>स्पष्ट है कि शेष में दशमलव बिंदु को एकक स्थान से उतने ही स्थान बाईं ओर हटकर लगाना चाहिए जितने दशमलव स्थान पर अंतिम उतारा हुआ अंक मूल भाज्य में था। यहाँ अंतिम उतारा हुआ अंक 2 मूल भाज्य में दूसरे दशमलव स्थान पर था। अतएव शेष 2.05 है।</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>उपर्युक्त क्रिया में भाज्य में 2 के आगे इच्छानुसार शून्य बढ़ाकर भागफल इच्छानुसार दशमलवों तक ज्ञात किया जा सकता है।</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>उपर्युक्त क्रिया में भाज्य में 2 के आगे इच्छानुसार शून्य बढ़ाकर भागफल इच्छानुसार दशमलवों तक ज्ञात किया जा सकता है।<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><br /></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===वर्गमूल===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===वर्गमूल===</div></td></tr>
</table>Bharatkhojhttps://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149455&oldid=prevBharatkhoj १ मार्च २०१३ को ११:४९ बजे2013-03-01T11:49:03Z<p></p>
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<tr class="diff-title" lang="hi">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← पुराना अवतरण</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">११:४९, १ मार्च २०१३ का अवतरण</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l119">पंक्ति ११९:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">पंक्ति ११९:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>424.33643 x 12.732 = 4243.3643 x 1.2732<br /></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>424.33643 x 12.732 = 4243.3643 x 1.2732<br /></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[चित्र:Ank ganit 5.gif|enter|200px]]<br /></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>दशमलव बिंदु के बाद आने वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/10 बराबर है, उसके बाद वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/100 के बराबर है, इत्यादि। इससे स्पष्ट है कि दशमलव अंक के बाद बहुत से अंकों के रखने की आवश्यकता व्यवहार में नहीं पड़ती, क्योंकि अंकों को मान उत्तरोत्तर शीघ्रता से घटता जाता है। इसीलिए बहुधा दशमलव के पश्चात् इसके तीसरे या चौथे स्थान के बाद के सब अंक को छोड़ दिए जाते हैं; परंतु यदि छोड़े हुए अंकों में से पहला अंक 5 या 5 से बड़ा हो तो रखे गए अंकों में से आरंभ अंक में 1 जोड़ दिया जाता है, क्योंकि तब उत्तर अधिक शुद्ध हो जाता है।</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>दशमलव बिंदु के बाद आने वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/10 बराबर है, उसके बाद वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/100 के बराबर है, इत्यादि। इससे स्पष्ट है कि दशमलव अंक के बाद बहुत से अंकों के रखने की आवश्यकता व्यवहार में नहीं पड़ती, क्योंकि अंकों को मान उत्तरोत्तर शीघ्रता से घटता जाता है। इसीलिए बहुधा दशमलव के पश्चात् इसके तीसरे या चौथे स्थान के बाद के सब अंक को छोड़ दिए जाते हैं; परंतु यदि छोड़े हुए अंकों में से पहला अंक 5 या 5 से बड़ा हो तो रखे गए अंकों में से आरंभ अंक में 1 जोड़ दिया जाता है, क्योंकि तब उत्तर अधिक शुद्ध हो जाता है।</div></td></tr>
</table>Bharatkhojhttps://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149451&oldid=prevBharatkhoj १ मार्च २०१३ को ११:२९ बजे2013-03-01T11:29:12Z<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← पुराना अवतरण</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">११:२९, १ मार्च २०१३ का अवतरण</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l112">पंक्ति ११२:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">पंक्ति ११२:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>= 6x10<sup>2</sup>+ 9x10+ 8 + 1x10<sup>-1</sup>+ 8x10<sup>-2</sup>+ 7x10<sup>-3</sup></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>= 6x10<sup>2</sup>+ 9x10+ 8 + 1x10<sup>-1</sup>+ 8x10<sup>-2</sup>+ 7x10<sup>-3</sup></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>व्यवकलन के लिए पूर्वोक्त क्रिया को उलटना होता है। बड़ी संख्या को ऊपर और छोटी को नीचे इस प्रकार लिखना चाहिए जिसमें दशमलव बिंदु एक-दूसरे के नीचे रहें; फिर साधारण रीति से घटाना चाहिए। शेष में दशमलव बिंदु को ऊपर लिखी संख्याओं के दशमलव बिंदुओं के ठीक नीचे रखना चाहिए, जैसा <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">बगल में </del>दिखाया गया है।<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><br /></del></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>व्यवकलन के लिए पूर्वोक्त क्रिया को उलटना होता है। बड़ी संख्या को ऊपर और छोटी को नीचे इस प्रकार लिखना चाहिए जिसमें दशमलव बिंदु एक-दूसरे के नीचे रहें; फिर साधारण रीति से घटाना चाहिए। शेष में दशमलव बिंदु को ऊपर लिखी संख्याओं के दशमलव बिंदुओं के ठीक नीचे रखना चाहिए, जैसा <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">नीचे </ins>दिखाया गया है।</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[चित्र:Ank ganit 4.gif|<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">right</del>|]]<br /></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[चित्र:Ank ganit 4.gif|<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">left</ins>|]]<br /></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>गुणा करने की विधि वितरण नियम पर आधारित है और अंकगणित की अधिकांश पुस्तकों में इसका वर्णन मिल जाएगा। यदि दो दशमलव संख्याओं का सन्निकट गुणनफल, मान लें; दशमलव स्थानों तक शुद्ध, ज्ञात करना है, तो सुगमता इसमें है कि इसमें से एक संख्या का (जिसे गुणक कहेंगे) दशमलव बाईं ओर या दाहिनी ओर हटाकर उस संख्या को 1 और 10 के बीच में लाया जाए, फिर उतने ही स्थान विपरीत दिशा में दूसरी संख्या का (जिसे गुण्य कहेंगे) दशमलव भी हटाया जाए तब गुण्य के तीसरे दशमलव स्थान से गुणक के एकक वाले अंक को गुणा आरंभ करना चाहिए। गुणक के दशमलव वाले अंक से गुण्य के दशमलव के दूसरे स्थान से गुणा आरंभ करना चाहिए, इत्यादि। जिन अंक से गुणा करना आरंभ किया जाए उसके दाहिनी ओर वाले अंक के गुणा करके हाथ लगने वाली संख्या ले लेनी चाहिए। यह क्रिया निम्नलिखित उदाहरण स्पष्ट हो जाएगी:</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>गुणा करने की विधि वितरण नियम पर आधारित है और अंकगणित की अधिकांश पुस्तकों में इसका वर्णन मिल जाएगा। यदि दो दशमलव संख्याओं का सन्निकट गुणनफल, मान लें; दशमलव स्थानों तक शुद्ध, ज्ञात करना है, तो सुगमता इसमें है कि इसमें से एक संख्या का (जिसे गुणक कहेंगे) दशमलव बाईं ओर या दाहिनी ओर हटाकर उस संख्या को 1 और 10 के बीच में लाया जाए, फिर उतने ही स्थान विपरीत दिशा में दूसरी संख्या का (जिसे गुण्य कहेंगे) दशमलव भी हटाया जाए तब गुण्य के तीसरे दशमलव स्थान से गुणक के एकक वाले अंक को गुणा आरंभ करना चाहिए। गुणक के दशमलव वाले अंक से गुण्य के दशमलव के दूसरे स्थान से गुणा आरंभ करना चाहिए, इत्यादि। जिन अंक से गुणा करना आरंभ किया जाए उसके दाहिनी ओर वाले अंक के गुणा करके हाथ लगने वाली संख्या ले लेनी चाहिए। यह क्रिया निम्नलिखित उदाहरण स्पष्ट हो जाएगी:</div></td></tr>
</table>Bharatkhojhttps://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149450&oldid=prevBharatkhoj १ मार्च २०१३ को ११:२१ बजे2013-03-01T11:21:12Z<p></p>
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<tr class="diff-title" lang="hi">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← पुराना अवतरण</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">११:२१, १ मार्च २०१३ का अवतरण</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l98">पंक्ति ९८:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">पंक्ति ९८:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>दशमलव पद्धति में योग ज्ञात करने की निम्नांकित पद्धति अब प्राय: सर्वमान्य है। संख्याओं को एक के नीचे एक इस प्रकार लिखना चाहिए कि दशमलव बिंदु सब एक स्तंभ में अर्थात् एक के नीचे एक रहें। इस प्रकार एकक के सभी अंक एक स्तंभ में पड़ेंगे, दहाई के स्थान वाले अंक एक अन्य स्तंभ में, इत्यादि; <br /></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>दशमलव पद्धति में योग ज्ञात करने की निम्नांकित पद्धति अब प्राय: सर्वमान्य है। संख्याओं को एक के नीचे एक इस प्रकार लिखना चाहिए कि दशमलव बिंदु सब एक स्तंभ में अर्थात् एक के नीचे एक रहें। इस प्रकार एकक के सभी अंक एक स्तंभ में पड़ेंगे, दहाई के स्थान वाले अंक एक अन्य स्तंभ में, इत्यादि; <br /></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>उदाहरणत: 53.76, 236081, 408346 का योग यों निकलेगा:</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>उदाहरणत: 53.76, 236081, 408346 का योग यों निकलेगा:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[चित्र:Ank ganit 3.gif|center|]]</ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>स्पष्ट है कि दशमलवों का योग साधारण जोड़ के समान ही है। ऊपर की क्रिया वस्तुत: निम्नलिखित का संक्षिप्त रूप है:</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>स्पष्ट है कि दशमलवों का योग साधारण जोड़ के समान ही है। ऊपर की क्रिया वस्तुत: निम्नलिखित का संक्षिप्त रूप है:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l111">पंक्ति १११:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">पंक्ति ११२:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>= 6x10<sup>2</sup>+ 9x10+ 8 + 1x10<sup>-1</sup>+ 8x10<sup>-2</sup>+ 7x10<sup>-3</sup></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>= 6x10<sup>2</sup>+ 9x10+ 8 + 1x10<sup>-1</sup>+ 8x10<sup>-2</sup>+ 7x10<sup>-3</sup></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>व्यवकलन के लिए पूर्वोक्त क्रिया को उलटना होता है। बड़ी संख्या को ऊपर और छोटी को नीचे इस प्रकार लिखना चाहिए जिसमें दशमलव बिंदु एक-दूसरे के नीचे रहें; फिर साधारण रीति से घटाना चाहिए। शेष में दशमलव बिंदु को ऊपर लिखी संख्याओं के दशमलव बिंदुओं के ठीक नीचे रखना चाहिए, जैसा बगल में दिखाया गया है।</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>व्यवकलन के लिए पूर्वोक्त क्रिया को उलटना होता है। बड़ी संख्या को ऊपर और छोटी को नीचे इस प्रकार लिखना चाहिए जिसमें दशमलव बिंदु एक-दूसरे के नीचे रहें; फिर साधारण रीति से घटाना चाहिए। शेष में दशमलव बिंदु को ऊपर लिखी संख्याओं के दशमलव बिंदुओं के ठीक नीचे रखना चाहिए, जैसा बगल में दिखाया गया है।<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><br /></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">गुणा करने की विधि वितरण नियम पर आधारित है और अंकगणित की अधिकांश पुस्तकों में इसका वर्णन मिल जाएगा।</del></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[चित्र:Ank ganit 4.gif|right|]]<br /></ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>यदि दो दशमलव संख्याओं का सन्निकट गुणनफल, मान लें; दशमलव स्थानों तक शुद्ध, ज्ञात करना है, तो सुगमता इसमें है कि इसमें से एक संख्या का (जिसे गुणक कहेंगे) दशमलव बाईं ओर या दाहिनी ओर हटाकर उस संख्या को 1 और 10 के बीच में लाया जाए, फिर उतने ही स्थान विपरीत दिशा में दूसरी संख्या का (जिसे गुण्य कहेंगे) दशमलव भी हटाया जाए तब गुण्य के तीसरे दशमलव स्थान से गुणक के एकक वाले अंक को गुणा आरंभ करना चाहिए। गुणक के दशमलव वाले अंक से गुण्य के दशमलव के दूसरे स्थान से गुणा आरंभ करना चाहिए, इत्यादि। जिन अंक से गुणा करना आरंभ किया जाए उसके दाहिनी ओर वाले अंक के गुणा करके हाथ लगने वाली संख्या ले लेनी चाहिए। यह क्रिया निम्नलिखित उदाहरण स्पष्ट हो जाएगी:</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">गुणा करने की विधि वितरण नियम पर आधारित है और अंकगणित की अधिकांश पुस्तकों में इसका वर्णन मिल जाएगा। </ins>यदि दो दशमलव संख्याओं का सन्निकट गुणनफल, मान लें; दशमलव स्थानों तक शुद्ध, ज्ञात करना है, तो सुगमता इसमें है कि इसमें से एक संख्या का (जिसे गुणक कहेंगे) दशमलव बाईं ओर या दाहिनी ओर हटाकर उस संख्या को 1 और 10 के बीच में लाया जाए, फिर उतने ही स्थान विपरीत दिशा में दूसरी संख्या का (जिसे गुण्य कहेंगे) दशमलव भी हटाया जाए तब गुण्य के तीसरे दशमलव स्थान से गुणक के एकक वाले अंक को गुणा आरंभ करना चाहिए। गुणक के दशमलव वाले अंक से गुण्य के दशमलव के दूसरे स्थान से गुणा आरंभ करना चाहिए, इत्यादि। जिन अंक से गुणा करना आरंभ किया जाए उसके दाहिनी ओर वाले अंक के गुणा करके हाथ लगने वाली संख्या ले लेनी चाहिए। यह क्रिया निम्नलिखित उदाहरण स्पष्ट हो जाएगी:</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>424.33643 x 12.732 = 4243.3643 x 1.2732<br /></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>424.33643 x 12.732 = 4243.3643 x 1.2732<br /></div></td></tr>
</table>Bharatkhojhttps://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149449&oldid=prevBharatkhoj १ मार्च २०१३ को ११:०८ बजे2013-03-01T11:08:25Z<p></p>
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<tr class="diff-title" lang="hi">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← पुराना अवतरण</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">११:०८, १ मार्च २०१३ का अवतरण</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l117">पंक्ति ११७:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">पंक्ति ११७:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>यदि दो दशमलव संख्याओं का सन्निकट गुणनफल, मान लें; दशमलव स्थानों तक शुद्ध, ज्ञात करना है, तो सुगमता इसमें है कि इसमें से एक संख्या का (जिसे गुणक कहेंगे) दशमलव बाईं ओर या दाहिनी ओर हटाकर उस संख्या को 1 और 10 के बीच में लाया जाए, फिर उतने ही स्थान विपरीत दिशा में दूसरी संख्या का (जिसे गुण्य कहेंगे) दशमलव भी हटाया जाए तब गुण्य के तीसरे दशमलव स्थान से गुणक के एकक वाले अंक को गुणा आरंभ करना चाहिए। गुणक के दशमलव वाले अंक से गुण्य के दशमलव के दूसरे स्थान से गुणा आरंभ करना चाहिए, इत्यादि। जिन अंक से गुणा करना आरंभ किया जाए उसके दाहिनी ओर वाले अंक के गुणा करके हाथ लगने वाली संख्या ले लेनी चाहिए। यह क्रिया निम्नलिखित उदाहरण स्पष्ट हो जाएगी:</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>यदि दो दशमलव संख्याओं का सन्निकट गुणनफल, मान लें; दशमलव स्थानों तक शुद्ध, ज्ञात करना है, तो सुगमता इसमें है कि इसमें से एक संख्या का (जिसे गुणक कहेंगे) दशमलव बाईं ओर या दाहिनी ओर हटाकर उस संख्या को 1 और 10 के बीच में लाया जाए, फिर उतने ही स्थान विपरीत दिशा में दूसरी संख्या का (जिसे गुण्य कहेंगे) दशमलव भी हटाया जाए तब गुण्य के तीसरे दशमलव स्थान से गुणक के एकक वाले अंक को गुणा आरंभ करना चाहिए। गुणक के दशमलव वाले अंक से गुण्य के दशमलव के दूसरे स्थान से गुणा आरंभ करना चाहिए, इत्यादि। जिन अंक से गुणा करना आरंभ किया जाए उसके दाहिनी ओर वाले अंक के गुणा करके हाथ लगने वाली संख्या ले लेनी चाहिए। यह क्रिया निम्नलिखित उदाहरण स्पष्ट हो जाएगी:</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>424.33643 x 12.732 = 4243.3643 x 1.2732</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>424.33643 x 12.732 = 4243.3643 x 1.2732<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><br /></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>दशमलव बिंदु के बाद आने वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/10 बराबर है, उसके बाद वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/100 के बराबर है, इत्यादि। इससे स्पष्ट है कि दशमलव अंक के बाद बहुत से अंकों के रखने की आवश्यकता व्यवहार में नहीं पड़ती, क्योंकि अंकों को मान उत्तरोत्तर शीघ्रता से घटता जाता है। इसीलिए बहुधा दशमलव के पश्चात् इसके तीसरे या चौथे स्थान के बाद के सब अंक को छोड़ दिए जाते हैं; परंतु यदि छोड़े हुए अंकों में से पहला अंक 5 या 5 से बड़ा हो तो रखे गए अंकों में से आरंभ अंक में 1 जोड़ दिया जाता है, क्योंकि तब उत्तर अधिक शुद्ध हो जाता है।</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>दशमलव बिंदु के बाद आने वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/10 बराबर है, उसके बाद वाले स्थान में 1 हो तो वह वस्तुत: 1/100 के बराबर है, इत्यादि। इससे स्पष्ट है कि दशमलव अंक के बाद बहुत से अंकों के रखने की आवश्यकता व्यवहार में नहीं पड़ती, क्योंकि अंकों को मान उत्तरोत्तर शीघ्रता से घटता जाता है। इसीलिए बहुधा दशमलव के पश्चात् इसके तीसरे या चौथे स्थान के बाद के सब अंक को छोड़ दिए जाते हैं; परंतु यदि छोड़े हुए अंकों में से पहला अंक 5 या 5 से बड़ा हो तो रखे गए अंकों में से आरंभ अंक में 1 जोड़ दिया जाता है, क्योंकि तब उत्तर अधिक शुद्ध हो जाता है।</div></td></tr>
</table>Bharatkhojhttps://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149446&oldid=prevBharatkhoj: /* भाजक सिद्धांत */2013-03-01T10:20:10Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">भाजक सिद्धांत</span></span></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← पुराना अवतरण</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">१०:२०, १ मार्च २०१३ का अवतरण</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l76">पंक्ति ७६:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">पंक्ति ७६:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[चित्र:Ank ganit.gif|center|300px]]</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[चित्र:Ank ganit.gif|center|300px]]</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>इस प्रकार अभीष्ट म.स. 84 है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं-<br /></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>इस प्रकार अभीष्ट म.स. 84 है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं-<br /></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[चित्र:Ank ganit 0.gif|center|100px]]</ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>इस प्रकार अभीष्ट में म.स. 84 है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं-अंतिम और प्रथम स्तंभों में क्रमानुसार भागफल और भाजक हैं।</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>इस प्रकार अभीष्ट में म.स. 84 है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं-अंतिम और प्रथम स्तंभों में क्रमानुसार भागफल और भाजक हैं।</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
</table>Bharatkhojhttps://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149435&oldid=prevBharatkhoj २५ फ़रवरी २०१३ को ०६:४५ बजे2013-02-25T06:45:42Z<p></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← पुराना अवतरण</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">०६:४५, २५ फ़रवरी २०१३ का अवतरण</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l74">पंक्ति ७४:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">पंक्ति ७४:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>252, 420, 1176 हों, तो 252 = 2<sup>2</sup>, 3<sup>2</sup>, 7, 420 = 2<sup>2</sup>, 3, 5, 7, 1176 = 2<sup>3</sup>, 3, 7<sup>2</sup> इसलिए इसका म.स. = 22, 3, 7= 84 है और ल.स. = 23, 32, 5, 72 = 17, 640।<br /></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>252, 420, 1176 हों, तो 252 = 2<sup>2</sup>, 3<sup>2</sup>, 7, 420 = 2<sup>2</sup>, 3, 5, 7, 1176 = 2<sup>3</sup>, 3, 7<sup>2</sup> इसलिए इसका म.स. = 22, 3, 7= 84 है और ल.स. = 23, 32, 5, 72 = 17, 640।<br /></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>दो संख्याओं का, बिना उनके गुणनखंड किए, म.स. ज्ञात करने की एक विधि विभाजन की है। इसमें पहले छोटी संख्या से बड़ी संख्या को भाग दिया जाता है, फिर शेष से छोटी को, अर्थात् पूर्वगामी भाजक को; यही क्रम तब तक चलता रहता है जब तक शेष शून्य न आ जाए। अंतिम भाजक अभीष्ट म.स. है। इस विधि का आविष्कार भी यूक्लिड ने किया था। उदाहरणार्थ, 252, 420 के लिए क्रिया यह होगी:<br /></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>दो संख्याओं का, बिना उनके गुणनखंड किए, म.स. ज्ञात करने की एक विधि विभाजन की है। इसमें पहले छोटी संख्या से बड़ी संख्या को भाग दिया जाता है, फिर शेष से छोटी को, अर्थात् पूर्वगामी भाजक को; यही क्रम तब तक चलता रहता है जब तक शेष शून्य न आ जाए। अंतिम भाजक अभीष्ट म.स. है। इस विधि का आविष्कार भी यूक्लिड ने किया था। उदाहरणार्थ, 252, 420 के लिए क्रिया यह होगी:<br /></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div> </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">[[चित्र:Ank ganit.gif|center|300px]]</ins></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>इस प्रकार अभीष्ट म.स. 84 है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं-<br /></div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>इस प्रकार अभीष्ट म.स. 84 है। संक्षिप्त रूप में इसे इस प्रकार लिख सकते हैं-<br /></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br></td></tr>
</table>Bharatkhojhttps://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149432&oldid=prevBharatkhoj २५ फ़रवरी २०१३ को ०५:२६ बजे2013-02-25T05:26:31Z<p></p>
<a href="https://bharatkhoj.org/w/index.php?title=%E0%A4%85%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4&diff=149432&oldid=149431">बदलाव दिखाएँ</a>Bharatkhoj